الرياضيات في العصر العباسي

الرياضيات في العصر العباسي

حفل هذا العصر بعدد كبير من كبار الرياضيين الذين أبدعوا فى علوم الرياضيات ، وسنقدم هنا بإيجاز بعضًا من إنجازاتهم التى أثرت تأثيرًا بارزًا فى ازدهار الفكر الرياضى وتقدمه فىالشرق و الغرب .

فهرست

[إخفاء]

الحساب

تمكن علماء المسلمين من ابتكار نظامين لكتابة الأرقام.

  • النظام الأول: ويسمى بالأرقام الغبارية، وسميت بذلك؛ لأنهم كانوا يذرون غبارًا خفيفًا على الألواح ثم يخطون فوق هذا الغبار بالأرقام. وهذه الأرقام تقوم فى أساسها على الزوايا وهى: 9876543210، التى تنتشر فى المغرب العربى بما فى ذلك الأندلس، ومنها دخلت إلى أوربا وسميت بالأرقام العربية.
  • النظام الثاني: وهو الأرقام الهندية، وهى الطريقة المتوارثة المنتشرة فى الأقطار الإسلامية والعربية المشرقية إلى الآن. كما ابتكر المسلمون مفهوم “الصفر” الذى سهل العمليات الحسابية تسهيلا لا حدود له، وعرفوه بأنه: “المكان الخالى من أى شىء”. وقد أخذه الأوربيون باسمه العربي وتداولوه فى مختلف لغاتهم، فقال الإنجليز: “Cipher”، وقال الفرنسيون: “Chiffre”، وقال الألمان:”Ziffer”، وسرعان ما خضع لعوامل التغيير اللغوى وصار: “Zero”. ويقول الدكتور”كارل بوير” فى كتابه “تاريخ الرياضيات“: “إنه بدون اكتشاف العرب للأعداد العربية كان من الممكن أن تكون الرياضيات الآن فى مهدها، ولكن بواسطتها استطاع الإنسان أن يخترع، وأن يعرف الطبيعة بأكملها”.

ولقد قسم المسلمون الأعداد العربية إلى قسمين أساسين هما: زوجى، وفردى. وعرفوا كلا منهما، كما بحثوا فى أنواعها ونظرياتها، وفى ذلك قالوا: “ما من عدد إلا وله خاصية أو عدة خواص، لا يشاركه فيها غيره”. ولم يقف المسلمون عند هذا الحد، بل بحثوا فى النسبة والمتواليات وقسموها إلى ثلاثة أنواع:

  • 1- المتواليات العددية.
  • 2- المتواليات الهندسية.
  • 3- المتواليات التوافقية أو التأليفية.

وكشفوا عن بعض حقائق النسبة فيما يتعلق بالأبعاد والأثقال، وكيفية استخراج الأنغام والألحان من النسبة التأليفية. وقد بسط “إخوان الصفا” فى القرن الرابع الهجرى القول فى ذلك، حيث ذكروا فى رسائلهم: “إن علم النسبة علم شريف جليل، وإن الحكماء جميع ما وضعوه من تأليف حكمتهم فعلى هذا الأصل أسسوه وأحكموه، وقضوا لهذا العلم بالفضل على سائر العلوم، إذ كانت كلها محتاجة إلى أن تكون مبنية عليه، ولولا ذلك لم يصح عمل، ولا صناعة، ولاثبت شىء من الموجودات على الحال الأفضل”. أما فيما يتعلق بالتناسب، وطريقة استخراج المجهول، فقد أبدعوا أيما إبداع، لقد أوضحوا استخراج المجهولات بالأربعة المتناسبة، وبحساب الخطأين، وبطريقة التحليل والتعاكس، وبطريقةالجبر. كما ابتكر المسلمون طرقًا جديدة فى العمليات الحسابية حملت اسم المسلمين. ومما لا شك فيه أن المسلمين هم مبتدعو الكسر العشرى بما هو عليه الآن من ابتكار الخط المستقيم الفاصل بين البسط والمقام. ويقول فى ذلك الأستاذ الكبير “لويس كارينكى” فى كتابه “المؤثرات على تاريخ العلوم”: “إن الكسر الاعتيادى واستعماله كما هو الآن من المعالم التاريخية التى يجب أن يفخر بها المسلمون”، ويقول العالم الرياضى المشهور “ل. فودستين” فى مقالة بعنوان “الاعداد العربية”: “إن وصول الرياضيات لما هى عليه الآن يرجع إلى ابتكار المسلمين لعملياتهم الحسابية العظيمة”. ومن الكتب التى وضعت فى الحساب:

كتاب للخوارزمى يعتبر الأول فى نوعه من حيث التبويب والمادة العلمية، كما يعتبر أول كتاب فى الحساب نقله الأوربيون إلى لغاتهم، واستمر زمنًا طويلا مرجعًا هامًا للعلماء والتجار والمحاسبين، ويدل الكتاب على أن المسلمين ابتكروا كثيرًا من المسائل التى تشحذ الذهن وتقوى التفكير، كما أنه يعكس الأسلوب المتميز الذى اتبعوه فى إجراء العمليات الحسابية بحيث كانوا يوردون لكل عملية حسابية طرقًا متعددة تتمشى مع مراحل النمو. ومن الطريف أن علماء التربية الحديثة أوصوا باستخدام “خوارزمية الضرب بطريقة الشبكة” فى المدارس الابتدائية لسهولة فهمها ومقدرة طلاب هذه المرحلة على استيعابها. وكتاب “الباهر” فى الحساب والجبر وعلاقتهما بالهندسة للسموأل بن يحيى المغربى، وقد نشرت مخطوطة هذا الكتاب حديثًا فى سوريا، وهو كتاب يعرف بعالم رياضى جليل يحتل مكانة عالية بين علماء العرب والمسلمين.

وهناك كتب كثيرة أخرى لاتقل أهمية عن ذلك مثل: كتاب “الجامع فى أصول الحساب” للحسن بن الهيثم، وكتاب “المقنع فى الحساب” للقاضى النسوى، وكتب “الفخرى” و”الكافى” و”البديع” لأبى بكر الكرجى، وغيرها. كذلك لعبت بعض المؤلفات فى علم الحساب دورًا هامًا فى الكشف عن اللوغاريتمات ووضع جداولها التى أصبحت عظيمة الفائدة فى تسهيل حل المسائل المتضمنة أعدادًا كبيرة وتقوم فكرتها أساسًا على استبدال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، ومعرفة الصلة بين حدود المتواليات الهندسية وحدود المتوالية العددية. ومن هذه المؤلفات كتاب “الجمع والتفريق” لسنان بن الفتح الحرانى الذى شرح فيه كيفية إجراء عمليات الضرب والقسمة بواسطة عمليات الجمع والطرح. واستطاع ابن يونس المصرى أن يتوصل إلى إيجاد القانون الأتى:

جتا س جتا ص = ½ جتا (س+ص) +½ جتا (س-ص). وكان لهذا القانون قيمة كبيرة عند علماء الفلك قبل اكتشاف اللوغاريتمات؛ إذ يسهل حلول كثير من المسائل الطويلة المعقدة. ومازالت فى أوربا جداول اللوغاريتمات المعروفة فى عصرنا تحمل اسم الخوارزمى أو “الغوريتمى”.

علم الجبر

سرعان ما طرق المسلمون باب التاريخ وسجلوا لأول مرة “علم الجبر” وعنهم أخذ العالم هذه الكلمة”Algebra”” بأبعادها العلمية، حتى يقول “كاجورى”: إن العقل ليدهش عندما يرى ما قدمه المسلمون فى علم الجبر، لانهم فى الحقيقة قدموه فى صورة علمية ناضجة، سار على منوالهم فيها جميع الدارسين للرياضيات. وكان كتاب “الجبر والمقابلة” للخوارزمى هو مصدرهم الاساسى، ويعد الخوارزمى أول من استنبط هذا العلم واستخرجه، وقد أورد فيه 800 مثالاً، ونقله إلى اللاتينية “جيرار الكريمونى” خلال القرن (12م)، فاعتمدت عليه جامعات أوربا حتى القرن(16م) وبواسطته عرفت أوربا مبادئ علم الجبر. كما توصل ثابت بن قرة إلى حجم الجسم المكافئ؛ ولهذا يعتبره كثير من الرياضيين مبتكرعلم التفاضل والتكامل. وكتب البروفيسور “ديفيد سميث” فى كتابه “تاريخ الرياضيات”: “إن ثابت بن قرة، صاحب الفضل فى اكتشاف علم التفاضل والتكامل؛ حيث أوجد حجم الجسم المكافئ، وذلك فى عام (256هـ). ومن المعروف أن علم التفاضل والتكامل أعان على حل عدد كبير من المسائل الصعبة والعمليات الملتوية”. وتقدم عمر الخيام بعلم الجبر خطوات إلى الأمام، وله كتاب نشر حديثًا بأمريكا سنة (1932م)، غير كتبه الأخرى المترجمة إلى اللغات الاجنبية وخاصة الفرنسية، وقد تميز كتابه فى الجبر عن كتاب الخوارزمى، وطور المعادلات الجبرية من الدرجة الثالثة والرابعة بواسطة قطع المخروط، وهو أرقى ما وصل إليه المسلمون فى الجبر، بل هو أرقى ما وصل إليه علماء الرياضيات فى حل المعادلات فى الوقت الحاضر. كما كان لكتاب الجبر والمقابلة للخوارزمى شروح عديدة قام بها الكثير من علماء المسلمين الذين اهتموا بتطوير هذا العلم والتأليف فيه والإضافة إليه، مثل: أبي الوفاء البوزجانى ، وأبي بكر الكرخي، والسموأل المغربي، وعبد الله بن الحسن الحاسب، وغيرهم.

علم الهندسة

تعتبر الهندسة من أبرز شواهد الحضارة الإنسانية وتطورها، وللمسلمين فيها باع طويل، فقد حفظوها من الضياع طوال العصور الوسطى، وأسلموها إلى أوربا لتبنى عليها، واستخدموا الجبر فى بيان أوجهها، وشرحوا، وفرعوا، وأضافوا إضافات جديدة، كأسس الهندسة التحليلية، ولا يخفى أن الرياضيات الحديثة تبدأ منها، وترجموا كثيرًا من الكتب لإقليدس وبطليموس وأرشميدس. ثم تصدى لشرح كتاب إقليدس وبرهان مسلماته كثيرون مثل: البيروني، والحسن ابن الهيثم، وعمر الخيام، وغيرهم كما تطرقوا إلى قضايا وبحوث جديدة لم يتناولها إقليدس.

وكان كتاب ابن الهيثم “شرح مصادرات إقليدس” الذى عنى بالمسلمات، وكتابه “حل شكوك إقليدس فى الأصول وشرح معانيه” من أهم المؤلفات التى أثارت العديد من المجادلات والمناقشات العلمية، وفتحت الباب لمزيد من التأليف فى هذا المجال. وبقيت أوربا تستعمل فى جامعاتها هندسة إقليدس المترجمة عن اللغة العربية حتى القرن(16م)، واستطاع عمر الخيام أن يبرهن أن مجموع زوايا أى شكل رباعى تساوى(360ْ) ومجموع زوايا أى مثلث تساوى (180ْ). وكان للبيرونى جهود مشكورة فى علم الهندسة، ومن كتبه “استخراج الأوتار فى الدائرة بخواص الخط المنحنى فيها”، وقد أراد البيرونى فى هذا الكتاب تصحيح دعوى القدماء اليونانيين فى انقسام الخط المنحنى فى كل قوس بالعمود النازل عليها من منتصفها والتغيير من خواصه. وقد ركز علماء المسلمين على الهندسة التطبيقية، ويتجلى هذا بوضوح فى بعض مؤلفات ابن الهيثم كمقالته فى “استخراج سمت القبلة”، ومقالته “فيما تدعو إليه حاجة الأمور الشرعية من الأمور الهندسية”، وكتاب طابق فيه بين الأبنية والحفور بجميع الأشكال الهندسية، وغيرها، ومن المؤلفات القيمة فى علم الهندسة كتاب “الشكل الهندسى” لمحمد بن موسى بن شاكر، وكتاب فى “استخراج المسائل الهندسية” لثابت بن قرة، وكتاب فى “الأعمال الهندسية”لنفس المؤلف، وكتاب “الأعمال الهندسية” لأبى الوفاء البوزجاني. وأعطى الكندي جزءًا كبيرًا من وقته لعلم الهندسة؛ فألف فيها(32)كتابًا ورسالة، منها رسالة فى “الهندسة الكروية”، ورسالة فى “الأشكال الكروية”، ورسالة فى “الهندسة المستوية”، وكتاب فى “تسطيح الكرة” وغير ذلك.

 

علم حساب المثلثات

وعلم حساب المثلثات علم عربى إسلامى، ويعترف جميع علماء الرياضيات الأوربيين بأن المسلمين أسهموا الإسهام الأساسى فى إنشاء علم المثلثات، وأن الفضل يرجع لهم فى جعله علمًا منتظمًا ومستقلا عن علم الفلك.

وقد قال “رام لاندو” فى كتابه “المؤثر على حضارة العرب”: “إن حساب المثلثات فى أوربا كان مأخوذًا من علم حساب المثلثات عند المسلمين. ويقول “ديفيد سميث” فى كتابه تاريخ الرياضيات”: “…ولم تدرس المثلثات الكروية المائلة بصورة جديدة وجدية إلا على أيدى العرب والمسلمين فى القرن الرابع الهجرى، العاشر الميلادى”. وقد قام المسلمون بحل معادلات مثلثية كثيرة عن طرق التقريب، وهم أول من أدخل المماس فى إعداد النسب المثلثية. ويروى مؤرخو الرياضيات أن علماء المسلمين كانوا هم أول من استعمل المعادلات المثلثية، وإليهم يرجع الفضل فى تطوير الظل والجيب فى علم حساب المثلثات. ويقول “جوزيف هل” فى كتابه “حضارة العرب”: “إن علم الجيب والظل يعتبر من تراث السلمين”، ويضيف الدكتور “دارك ستروك” فى كتابه “المختصر فى تاريخ الرياضيات”: “إن كلمة جيب كلمة عربية، وهذا لا يترك مجالا للشك فى أن الفضل يرجع إلى المسلمين فى تطويرها إلى ماهى عليه الآن”. ومن العلماء المسلمين الذين برزوا فى هذا العلم ابن سنان البتانى، وهو أول من استعمل المعادلات المثلثية، وأبو الوفاء البوزجانى أول من أدخل المماس فى عداد النسب المثلثية، واستخدم المماسات، والقواطع، ونظائرها فى قياس المثلثات والزوايا. كما ابتكر طريقة لإنشاء جداول للجيوب فى المثلثات المستوية، وأعطى جيب نصف الدرجة صحيحًا لثمانية أرقام عشرية، ووضع جداول لنسبة الظل التى أدخلها مع نسبتى القاطع وقاطع التمام. ومن العلماء الذين أسهموا فى علم المثلثات: أبو العباس التبريزى ، و أبو جعفر الخازن فى القرن الرابع الهجرى، والبيرونى، والعالم الأندلسى الجليل أبو إسحاق إبراهيم بن يحيى النقاش المعروف بابن الزرقالى عند الغربيين، وكان له أثر عظيم فى علم حساب المثلثات وخاصة المثلث الكروى، ووجد اسم جيب الزواية واستعمالها فى كتاب ابن الزرقالى. وقد ألف كذلك جداول لعلم حساب المثلثات ترجمها الغرب إلى اللاتينية. ويقول “سيديو” عن إنجازات البتانى فى علم المثلثات: “يرجع أول تقدم فى علم المثلثات إلى البتانى، فقد بدا لهذا الفلكى العظيم -الملقب ببطليموس العرب- أن يستبدل الأقواس بالأوتار للأقواس المضاعفة أى جيوب الأقواس المقترحة”. ثم يذكر من أقوال البتانى قوله: “لم يستعمل بطليموس الأوتار الكاملة إلا لتسهيل التطبيقات، وأما نحن فقد اتخذنا أنصاف الأقواس المضاعفة”. وانتهى البتانى إلى الدستور الأساسى للمثلثات الكرية فطبقه غير مرة، ونجد فى كتب البتانى لأول مرة مبدأ مماس القوس، وتعبير (جيب تمام الجيب) الذى لم يستعمله الإغريق قط، وأدخل البتانى هذا المبدأ إلى حسابات الساعة الشمسية فسماه الظل الممدود، وليس هذا سوى المماس المثلثى عند علماء الوقت الحاضر. وأضاف “إيرك بل” فى كتابه “تطورات الرياضيات”: “إن البتانى هو أول عالم أدخل علم الجبر على علم حساب المثلثات بدلا من الهندسة كما كان الحال فى القديم. ومن أشهر المشتغلين بعلم الرياضيات والمكانيك: أبناء موسى بن شاكر، وقد عالجوا ألوانًا من التأليف طرقت: علم الحيل، وعلم المثلثات؛ حيث لجأوا إلى طريقة جديدة تعتمد المنحنيات فى تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أقسام متساوية، ووضع مقدارين ليتوالى على قسمة واحدة واستعملوا القانون المشهور فى عالم المثلثات باسم “قانون هيرون”، وذلك لتقدير مساحة المثلث إذا علم طول كل ضلع من أضلاعه.

وقضى أبو الوفاء جل وقته فى دراسة مؤلفات البتانى فى علم حساب المثلثات فعلق عليها وفسر الغامض منها. ويقول الدكتور “موريس كلاين” عن أبىالوفاء فى كتابه “تاريخ الرياضيات من الغابر إلى الحاضر”: “إن أبا الوفاء عرف بعض النقط الغامضة فى مؤلفات العالم المسلم المشهور البتانى وشرحها”. وهكذا أسهمت الحضارة الإسلامية فى إثراء الفكر الرياضى بأهم مقومات تقدمه وازدهاره، وهى العناية بالبحث العلمى والتطبيقى إلى جانب الدراسات النظرية على أساس علمى سليم يعتمد على المنهج التجريبى الاستقرائى؛ ولهذا حفل التراث العلمى الإسلامى بالكثير من النظريات والأفكار الرياضية الأصيلة التى أجمع المؤرخون على أهميتها واعتماد المحدثين عليها. ويقول الكاتب “رام لاندو” فى كتابه “مآثر العرب فى الحضارة”: “إن المسلمين قدموا كثيرًا من الابتكارات فى حقل الرياضيات، ومع ذلك فإن معظم الأمريكان والأوربيين لم يعودوا يتذكرون من أى مخزن اكتسب العالم المسيحى الأدوات التى لم يكن لتصل الحضارة الغربية إلى مستواها الحالى إلا بها”.وظهر من علماء الرياضيات النابغين مجموعة كبيرة تكمل انجازات السابقين وتبنى عليها ومن هؤلاء: نصير الدين الطوسى ، وكان عالمًا فذًا فى الرياضيات و الفلك، ويقول “جورج سارتون” فى كتابه تاريخ العلوم: ” إن نصير الدين الطوسي يعتبر من أعظم علماء الإسلام ومن أكبر رياضييهم” فأبدع فى علم الرياضيات بجميع فروعه، و يوضح ذلك الدكتور”موريس كلاين” فى كتابه “تاريخ الرياضيات من الغابر حتى الحاضر”: “أن نصير الدين الطوسى كان يعرف معرفة تامة الأعداد الصم، ويظهر ذلك من بحوثه لمعادلات صماء مثل:

الجذر التربيعى لـ (أ ب) = حاصل ضرب الجذر التربيعى لـ (أ) × الجذر التربيعى لـ (ب)، والجذر التربيعى لحاصل ضرب (أ2) × (ب2) = أب.

كما كانت لديه خبرة جيدة بالدوال الجبرية الصماء، وبالمثلث الكروى القائم الزاوية وهذا يظهر من رسالة “الأشكال الرباعية الأضلاع “، ويقول الدكتور “درك سيترك” فى كتابه “ملخص تاريخ الرياضيات”: “إن نصير الدين الطوسى من المفكرين الاوائل فى الاعداد التى ليس لها جذور-الأعداد الصم-، ولو أعطى كل ذى حق حقه فإنه من الجدير أن يقال إنه المبتكر الأول لهذه الأعداد التى لعبت فى الغابر دورًا مهمًا ولا تزال لها أهميتها العظمى فى الرياضيات الحديثة التى تدرس الآن فى جميع أنحاء العالم. واشتهر نصيرالدين الطوسى بعلم حساب المثلثات، فألف فيه كتاب ” شكل القطاعات”، وهو يحتوى على حساب المثلثات فقط، فنجح بذلك فى فصل حساب المثلثات عن علم الفلك، ويذكر الدكتور “ديفيد يوجين سميث” فى كتابه “تاريخ الرياضيات”: “إن نصير الدين كتب أول كتاب فى علم حساب المثلثات سنه 648هـ نجح فيه نجاحًا تامًا فى فصل حساب المثلثات عن علم الفلك“، ثم أضاف “…إن نصير الدين هو أول من طور نظريات جيب الزاوية الى ما هى عليه الآن مستعملاً فى المثلث المستوى”. وأوضح البروفيسور “إريك بل” فى كتابه “الرياضيات وتطويرها عبر التاريخ”: أنه كان لكتابنصير الدين الطوسي فى علم حساب المثلثات الأثر الكبير فى علماء الرياضيات فى الشرق والغرب، بما فيه من الابتكارات الجديدة التى أفادت وطورت هذا الحقل”. كما اهتم بالهندسة الفوقية، أوالهندسة الإقليدسية، فقال البروفيسور “درك سترديك” فى كتابه “ملخص تاريخ الرياضيات”: “إن نصير الدين الطوسى حاول بكل جدارة أن يبرهن على الموضوعة الخامسة من موضوعات إقليدس، فكانت محاولته بدء عصر جديد فى علم الرياضيات الحديثة؛ لهذا انصبت عقليته العظيمة على برهانها، وهو: ( أن مجموع زوايا المثلث تساوى زاويتين قائمتين). وألف نصير الدين الطوسى أكثر من (145) مؤلفا فى حقول مختلفة منها: علم حساب المثلثات، والجبر، والهندسة، والجغرافية، والهيئة، وغيرها منها: مقالة تحتوى على الشكل القطاعى السطحى والنسب الواقعة فيه، والرسالة الشافية عن الشك فى الخطوط المتوازية، كتاب تحرير إقليدس، وغيرها؛ ولهذا فإن نصير الدين ترجم ودرس واختصر، وأضاف نظريات جديدة إلى إنتاج من سبقه من علماء شرقيين وغربيين، فأرسى قواعد إنتاجه العلمى على تجاربه، وتجارب الآخرين وألوان نشاطهم المختلفة، كما كان نصير الدين الطوسى موسوعة فى العلوم كلها، فألف كتبًا كثيرة استفاد منها من تبعه.

المصادر

موسوعة الحضارة الإسلامية

 

Posted in حول علم الرياضيات | أضف تعليقا

محتويات كتب في عالم الرياضيات

(1)

Calculus I (Math 2413)

 

المحتويات
  • Algebra/Trig Review – Trig Functions and Equations, Exponential Functions and Equations, Logarithm Functions and Equations.
  • Limits – Concepts, Definition, Computing, One-Sided Limits, Continuity, Limits Involving Infinity, L’Hospitals Rule
  • Derivatives – Definition, Interpretations, Derivative Formulas, Power Rule, Product Rule, Quotient Rule, Chain Rule, Higher Order Derivatives, Implicit Differentiation, Logarithmic Differentiation, Derivatives of Trig Functions, Exponential Functions, Logarithm Functions, Inverse Trig Functions, and Hyperbolic Trig Functions.
  • Applications of Derivatives – Related Rates, Critical Points, Minimum and Maximum Values, Increasing/Decreasing Functions, Inflection Points, Concavity, Optimization
  • Integration – Definition, Indefinite Integrals, Definite Integrals, Substitution Rule, Evaluating Definite Integrals, Fundamental Theorem of Calculus
  • Applications of Integrals – Average Function Value, Area Between Curves, Solids of Revolution, Work

(2)

Calculus I I Math 2414
المحتويات
Integration Techniques – Integration by Parts, Integrals Involving Trig Functions, Trig Substitutions, Integration using Partial Fractions, Integrals Involving Roots, Integrals Involving Quadratics, Integration Strategy, Improper Integrals, Comparison Test for Improper Integrals, and Approximating Definite Integrals.
Applications of Integrals – Arc Length, Surface Area, Center of Mass/Centroid, Hydrostatic Pressure and Force, Probability.
Parametric Equations and Polar Coordinates – Parametric Equations & Curves, Calculus with Parametric Equations (Tangents, Areas, Arc Length and Surface Area), Polar Coordinates, Calculus with Polar Coordinates (Tangents, Areas, Arc Length and Surface Area).
Sequences and Series – Sequences, Series, Convergence/Divergence of Series, Absolute Series, Integral Test, Comparison Test, Limit Comparison Test, Alternating Series Test, Ratio Test, Root Test, Estimating the Value of a Series, Power Series, Taylor Series, Binomial Series
Vectors – Basics, Magnitude, Unit Vector, Arithmetic, Dot Product, Cross Product, Projection
Three Dimensional Coordinate System – Equations of Lines, Equations of Planes, Quadratic Surfaces, Functions of Multiple Variables, Vector Functions, Limits, Derivatives, and Integrals of Vector Functions, Tangent Vectors, Normal Vectors, Binormal Vectors, Curvature, Cylindrical Coordinates, Spherical Coordinates

(3)
Calculus III Math 2415
المحتويات
Three Dimensional Coordinate System – Equations of Lines, Equations of Planes, Quadratic Surfaces, Functions of Multiple Variables, Vector Functions, Limits, Derivatives, and Integrals of Vector Functions, Tangent Vectors, Normal Vectors, Binormal Vectors, Curvature, Cylindrical Coordinates, Spherical Coordinates  

Partial Derivatives – Limits, Partial Derivatives, Higher Order Partial Derivatives, Differentials, Chain Rule, Directional Derivatives, Gradient.

Applications of Partial Derivatives – Tangent Plane, Normal Line, Relative Extrema, Absolute Extrema, Optimization, Lagrange Multipliers.

Multiple Integrals – Iterated Integrals, Double Integrals, Double Integrals in Polar Coordinates, Triple Integrals, Triple Integrals in Cylindrical Coordinates, Triple Integrals in Spherical Coordinates, Change of Variables, Surface Area.

Line Integrals – Vector Fields, Line Integrals With Respect to Arc Length, Line Integrals With Respect to x and y, Line Integrals of Vector Fields, Fundamental Theorem of Line Integrals, Conservative Vector Fields, Potential Functions, Green’s Theorem, Curl, Divergence.

Surface Integrals – Parametric Surfaces, Surface Integrals, Surface Integrals of Vector Fields, Stokes’ Theorem, Divergence Theorem

(4)

Algebra Math 1314

المحتويات
  • Preliminaries – Exponent Properties, Rational Exponents, Negative Exponents, Radicals, Polynomials, Factoring, Rational Expressions, Complex Numbers
  • Solving Equations and Inequalities – Linear Equations, Quadratic Equations, Completing the Square, Quadratic Formula, Applications of Linear and Quadratic Equations, Reducible to Quadratic Form, Equations with Radicals, Linear Inequalities, Polynomial & Rational Inequalities, Absolute Value Equations & Inequalities.
  • Graphing and Functions – Graphing Lines, Circles, and Piecewise Functions, Function Definition, Function Notation, Function Composition, Inverse Functions.
  • Common Graphs – Parabolas, Ellipses, Hyperbolas, Absolute Value, Square Root, Constant Function, Rational Functions, Shifts, Reflections, Symmetry.
  • Polynomial Functions – Dividing Polynomials, Zeroes/Roots of Polynomials, Finding Zeroes of Polynomials, Graphing Polynomials, Partial Fractions.
  • Exponential and Logarithm Functions – Exponential Functions, Logarithm Functions, Solving Exponential Functions, Solving Logarithm Functions, Applications.
  • (5)
  • Linear Algebra Math 2318
  • المحتويات 

     

    • Systems of Equations and Matrices – Systems of Equations, Row-Echelon Form, Reduced Row-Echelon Form, Gaussian Elimination, Gauss-Jordan Elimination, Matrices, Matrix Arithmetic, Transpose, Inverse Matrices, LU-Decompositions.
    • Determinants – The Determinant Function, Properties of Determinants, Method of Cofactors, Determinants by Row Reduction, Cramer’s Rule.
    • Euclidean n-space – Vectors, Vector Arithmetic, Norm, Dot Product, Cross Product, Projections, Euclidean n-space, Linear Transformations.
    • Vector Spaces – Vector Space Axioms, Examples of Vector Spaces, Subspaces, Span, Linear Independence, Linear Dependence, Basis, Dimension, Null Space, Row Space, Column Space, Inner Product Spaces, Orthogonal/Orthonormal Basis, Least Squares, QR-Decomposition, Orthogonal Matrices
    • Eigenvalues and Eigenvectors – Review of Determinants, Eigenvalues and Eigenvectors, Diagonalization

  • (6)
  • المعادلات التفاضلية
    Differential Equations
    المحتويات 

    First Order Differential Equations

    Linear Equations Identifying and solving linear first order differential equations.
    Separable Equations Identifying and solving separable first order differential equations. We’ll also start looking at finding the interval of validity from the solution to a differential equation.
    Exact Equations Identifying and solving exact differential equations. We’ll do a few more interval of validity problems here as well.
    Intervals of Validity Here we will give an in-depth look at intervals of validity as well as an answer to the existence and uniqueness question for first order differential equations.
    Modeling with First Order Differential Equations Using first order differential equations to model physical situations. The section will show some very real applications of first order differential equations.
    Equilibrium Solutions We will look at the behavior of equilibrium solutions and autonomous differential equations.

    Euler’s Method In this section we’ll take a brief look at a method for approximating solutions to differential
    equations

    المصدر : الجامعات السعودية, http://www.ksau.info/vb/showthread.php?t=9847
Posted in كتب في عالم الرياضيات | أضف تعليقا

Radicals&Polynomials

 

Simplifying Radicals – YourTeacher.com – Math Help

Radical Notation and Simplifying Radicals

 

Long Division of Polynomials

Factoring Polynomials – YourTeacher.com – Algebra Help

Posted in عالم الفيديو | أضف تعليقا

” الرياضيات والإسـلام “

 ” الرياضيات والإسـلام “

سنتناول إن شاء الله في هذا البحث لمحة تاريخية شاملة عن الرياضيات، فهي لبّ الأعداد والأرقام، ولكن قبل الشروع في ذلك سنتعرض للرياضيات من منظور إسلامي، حتى نعطي للمتابع فكرة جلية لعظمة الإسلام واهتمامه بالرياضيات فنقول :

وأيضا قبل المباشرة، علينا أن نعرف ماهية هذا العلم . فكما هو معلوم أن الرياضيات هي أم العلوم الدنيوية كما تسمى، وتدخل في كل جوانب العلوم الطبيعية . أما في الهندسة فتعد الرياضيات هي روح العمل الهندسي التي بدونها لما كان هناك وجود الهندسة وتطبيقاتها، وأما الإحصاء فلا يكاد يخلو أي علم تطبيقي من مادة الإحصاء ومعادلاته وحساباته. وللقرآن الكريم إعجاز رياضي عظيم يكاد يخلب العقول ، وبرزت في هذا المجال كتب وبحوث عديدة في الإعجاز الرقمي تحوي تفاصيل رائعة بموضوع الأرقام والإحصاء وإعجاز الوزن الرقمي للكلمات وأعدادها وفيه أمور عديدة تبعث بالقاري على الاعتزاز بدينه والفخر بكتابه وسنة رسول الله محمد إبن عبد الله صلى الله عليه وسلم .

 

 

 

 

 

فمن آيات الله في كتابه العزيز ما فيه إشارة مباشرة إلى الرقم والإحصاء والعدد، ومنها ما يحتاج إلى تدبر وتفكر يفضي إلى فهم أشمل للآية الخاصة بالإشارة والمثل القرآني، فهناك الإحصاءات الآتية .

q  عدد تكرارات الكلمة والحرف في السورة الواحدة وفي القرآن بأجمعه .

q  تسلسل الكلمة ونسبتها إلى عدد كلمات السورة .

q  تسلسل آية الكلمة ونسبتها إلى عدد آيات السورة .

q  تسلسل رقم السورة ونسبتها إلى سور القرآن الكريم .  كمثال لذلك راجع الرابط المسمى أسرار ترتيب سور القرآن الكريم .

q  الوزن الرقمي للكلمة أو حساب جملها .

وسيرى المتابع الكريم كيف أن هذه النسب والإحصاءات مرتبة بشكل رياضي محكم وحسب قوانين رائعة لا يعلمها إلا الله تعالى، وكيف أنها تعطي ثوابت هندسية للظواهر التي تتحدث عنها فيزيائية كانت أم كيميائية أم اجتماعية أم أي شيء آخر، وكيف أن هذه الثوابت التي من المكن تسميتها (الثوابت القرآنية الشاملة  Global Holy Quran Constants) تربط الظواهر التي تتحدث عنها كمثل أو إشارة مع الحالة الاجتماعية للإنسان والمجتمع .  

* موقف الإسلام من العلوم الرياضية :

لئن كان عصرنا الذي نعيش هو عصر الإحصاء والرياضيات إذ لا يكاد علم من العلوم يخلو من هذين العنصرين الأساسيين اللازمين لتطوره، وهما الفارق بين العلميين والعشوائيين ، فإن الإسلام العظيم قد سبق في هذا سبقا مميزا يكاد يكون السمة البارزة له عن بقية الأديان والقوانين الوضعية فلا عجب أن نرى أن القرآن العظيم يعطي الإحصاء والرياضيات أهمية بارزة ، فيقول الله تعالى : (وأحصى كلّ شيء عددا) ، وقال تعالى: (لقد أحصهم وعدّهم عددا)، وغيرها من الآيات المباركات . وقد بادر النبي صلى الله عليه وسلم إلى الانتفاع بالإحصاء منذ عهد مبكر من إقامة دولته بالمدينة . فقد روى البخاري ومسلم عن حذيفة بن اليمان رضي الله عنه قال: كنا مع رسول الله فقال : (احصوا لي كم يلفظ بالإسلام) . وفي رواية للبخاري أنه قال: (اكتبوا لي من يلفظ بالإسلام من الناس) . قال حذيفة: فكتبنا له ألفا وخمسمائة رجل. وكان ذلك ليعرف الرسول صلى الله عليه وسلم القوة البشرية الضاربة التي يستطيع بها مواجهة الأعداء. والإحصاء الذي تم في وقت مبكر من حياة الدولة الإسلامية ، تم بأمر رسول الله صلى الله عليه وسلم بسهولة ويسر، يرينا إلى أي حد يرحب الإسلام باستخدام الوسائل العلمية الإحصائية والرياضية . وفي مقابل هذا نجد في العهد القديم إن أحد أنبياء بني إسرائيل أراد أن يعمل لهم إحصاء فنزلت عقوبة سماوية بهم ، كأنما (الإحصاء) يمثل تحديا للقدر والإرادة الإلهية، وهذا ما استنبط منه الفيلسوف المعاصر الشهير (برتراند رسل) أن التوراة والكتاب المقدس لا يتيحان مناخا مناسبا لإنشاء عقلية علمية .

 

لقد طبق المسلمون في زمن الخليفة عمر بن الخطاب رضي الله عنه الإحصاء عن طريق تأسيس الدواوين حيث يتم فيها تدوين المعلومات عن الجند ودخول بيت المال وغيرها من البيانات اللازمة للتموين وتجهيز الجيوش . . . وهذه الطريقة لا تزال تستخدم في كثير من الأمور الإحصائية الحديثة وهي بداية الإحصاء . كذلك استخدم الخليفة أبو جعفر المنصور وسائل متطورة وعديدة لتسليح وتموين الجند إضافة إلى تبويب مدخولات بيت المال والمصروفات والأبواب الأخرى المتعلقة بإدارة الدولة . ولعل القاعدة القرآنية العظيمة في قوله تعالى : (وكذلك جعلنكم أمة وسطا) . وفي قول رسول الله صلى الله عليه وسلم : (خير الأمور الوسط) . وكما بينا أن معاني الوسطية في اللغة الاعتدال والاتزان والتوازن والعدل ووسطية المكان ، ومن هنا يتبين لنا المفهوم الإحصائي الأساسي الذي أسّسه القرآن ألا وهو الوسط الحسابي والمعدل . . . أما الإحصاء التطبيقي فقد ساهم فيه المسلمون عن طريق التوفير للمنحنى المفترض عن البيانات المعلومة وهذا المفهوم العلمي الرياضي لا يزال الأساس في علم الإحصاء لإيجاد أفضل المعادلات لقياس واقعية تجربة أجريت من قبل الباحثين في حقول المعرفة المختلفة . وما طريقة عمر الخيام لحل المعادلات التكعيبية ذات المجهول الواحد عن طريق ما يسمى (بحساب الخطأين) عند المسلمين وما يسمى حديثا بطريقة (False Regula) في التحليلات العددية الحديثة إلا خير دليل إلى أن المسلمين اتبعوا خطوات هندسية حديثة ومتطورة وسبقوا زمنهم في هذا المجال (بالإمكان الرجوع إلى مجلة المجمع العلمي العراقي ، لسنة 1973، العدد 23) .

 

تعد الحضارة الإسلامية من المرتكزات الأساسية وأحد الروافد الكبرى للحضارة البشرية لأصالتها وشموليتها وإنسانيتها بالإضافة إلى المنهج العلمي الذي كان الصفة المميزة لنتاجات علماء الأمة . لذلك فإن الأعمال العلمية الإسلامية اتصفت بالوضوح والدقة والجدية وبذلك يكون علماؤنا قد أضافوا إشعاعا جديدا لحضارة أمتهم الذي اعترف بفضلها كبار مؤرخي العالم ورجاله . ومنهم العالم بريفو الذي قال : (إن العلم أجل خدمة أسدتها الحضارة العربية إلى العالم الحديث وللعرب الفضل الكبير في تعريف أوروبا بالمعرفة العلمية ، وإن العلم الأوروبي سيبقى مدينا بوجوده إلى العرب) .

 

ولقد احتلت العلوم الرياضية مركزا مهما في حضارتنا الإسلامية حيث اهتم بها المسلمون اهتماما واضحا ، ويظهر ذلك من خلال النظريات والأفكار الرياضية المتطورة التي قدمها المسلمون . وقد ساعدت جملة من العوامل على تقدمهم في ذلك المجال العلمي المهم في طبيعة العقلية العربية المتفتحة صافية الذهن التي عمل الإسلام على تبلورها، حيث ان القرآن الكريم عدّ التأمّـل والتفكر في خلق الله في جملة المفاهيم الإسلامية التي لا بد للمسلم أن يأخذ بها، بالإضافة إلى تأكيده على ضرورة الاهتمام بالعلوم بصورة عامة ، كذلك فإن القرآن الكريم احتوى على الكثير من الأمور التي لا بد من معرفتها والمتعلقة في أسس العبادة وأن العمل لا يتم إلا بعد معرفة بعض الجوانب الرياضية وكان ذلك في جملة العوامل التي دعت العرب والمسلمين إلى الاهتمام أكثر في دراسة وفهم الرياضيات للاستفادة منها سواء في تحديد مواقيت الصلاة وبداية الأشهر الهجرية وأهمها رمضان المبارك وشهر الحج وبقية الأشهر الحرم عموما وتحديد اتجاه القبلة وقسمة المواريث والغنائم .

 

لقد تطورت العلوم الرياضية تطورا سريعا على أيدي علماء الإسلام الذين سجلوا ابتكارات رياضية مهمة في حقول الحساب والجبر والمثلثات والهندسة، وقد أثارت أعمالهم إعجاب ودهشة علماء الغرب ، وقد أشاد الكثيرون منهم بفضل علماء المسلمين والعرب ومآثرهم الرياضية ، فقد ذكر سيدو : (إن للعرب عناية خاصة بالعلوم الرياضية كلها فكان لهم القدح المعلى وأصبحوا أساتذة لنا في هذا المضمار بالحقيقة) . أما روم لاندو فقال : (على أيدي العرب دون غيرهم عرفت الرياضيات ذلك التحول الذي مكنها آخر الأمر أن تصبح الأساس الذي قام عليه العالم الغربي الحديث ن فلولا الرياضيات كما طورها العرب كان خليقا بمكتشفات كوبرينكوس وكلبرت وديكارت ولاينبز أن يتأخر ظهورها كثيرا) . أما هوبر فذكر أن التقدم الوحيد في الرياضيات الذي ابتدأ في عصر بطليموس وحتى عصر النهضة كان من جهة العرب فقط . أما في أوروبا فكانت جميع فروع الرياضيات من الجمود الذي شلّ الفكر بعد سقوط الإمبراطورية الرومانية .

 

وكان للعلماء المسلمين اليد الطولى والفضل الأكبر في تطور العلوم الرئيسية وعلى رأسها الرياضيات بكل علومها المعقدة ومنها الجبر والهندسة والحساب والمقابلة وأقسام العدد والعددان المتحابان وخواص الأعداد والكسور والضرب والقسمة والمساحة للأشكال الهندسية وقوانين الأشكال الهندسية والجذور والإحصاء وغيرها من العلوم الرياضية المعقدة ، وكان علماء المسلمين من أهل الرياضيات أعلاما ، فحسبك الخوارزمي محمد بن موسى المتوفى بعد سنة 232 هـ . والذي يعود له الفضل الأساس في علوم الحاسبات الحديثة وباعتراف الغرب بأجمعه، وكلمة (Algorithm) تعني الخوارزمي، كما أنه يعتبر مؤسس علم الجبر الحديث وكلمة (Algebra) مشتقة من كتابه (الجبر والمقابلة). وهو باعتراف الغربيين أساس لكل العلوم الحاضرة فلا يكاد يخلو علم من العلوم المعقدة الحديثة إلا وفيه جبر الخوارزمي، إضافة إلى إبداعاته في نظام الأرقام والأعداد وعلم الحساب والمتواليات العددية والهندسية والتآلفية والمعادلات الجبرية والجذور واللوغارتمات والفلك والمثلثات والأرقام الهندية والطريقة البيانية لإيجاد الجذور =، وله أكثر من 27 مؤلفا في مختلف العلوم أشهرها (الجبر والمقابلة) الذي نقله إلى اللاتينية روبرت أوفشستر (عن كتاب بغداد مدينة السلام) .

Posted in حول علم الرياضيات | أضف تعليقا

( معلومات هامة عن الرياضيات )

 

( معلومات هامة عن الرياضيات )

* أول من وضع علم الجبر واستعمل لفظ الجبر ووضع أصوله و قوانينه هو الخوارزمي أبو ‏عبد الله محمد ولد عام 232 هـ وكتابه في الجبر بعنوان ( المختصر في حساب الجبر ‏والمقابلة ) .

* أول من أضاف العدد صفر إلى مجموعة الأعداد 1 ,2 , 3, ….. لتكون الأعداد الطبيعية ‏هو الخوارزمي .

 * أول من توصل لحساب طول السنة الشمسية هو ابو الحسن ثابت بن قرة ولدعام 836 م ‏في حران وهو وثني من عبدة النجوم حدد السنة الشمسية ب 360 يوما و 6 ساعات و 9 ‏دقائق و 10 ثواني .

* أول من اخترع النسب المثلثية هو أبو جابر البتاني محمد بن سنان الحراني ولد ببتان ‏‏850 م .

* أول من أدخل علامة الكسر العشري هو جمشيد بن محمود بن مسعود الملقب بغياث الدين ‏ولد بمدينة كاشان ولذلك يعرف بالكاشي .

* أول من بيّن طريقة إيجاد الجذر التكعيبي هو أبو الحسن علي بن أحمد النسوي .

* أول من وضع نظرية الزمر هو الفرنسي إيفاريست غالوا ( 1811 – 1832 م ) .

 * أول من اخترع الآلة الحاسبة هو الفرنسي بليز باسكال عام 1642 م لإجراء عمليات ‏الضرب والقسمة بواسطة عجلات تحمل الأرقام {1 – 0} .

* أول من حوّل الكسور العاديّة إلى كسور عشريّة في علم الحساب هو غياث الدين جمشيد ‏الكاشي قبل عام 840 هجرية/1436 م .

 * أول من استعمل الأسس السالبة هو العالم المسلم السموأل المغربي ، وهو عالم اشتهر ‏باختصاصه في علم الحساب ، أوّل من استعمل الأسس السالبة في الرياضيات ، وتوفي هذا ‏العالم الفذّ في بغداد عام 1175م .

* أول من استخدم الجذر التربيعي هو العالم المسلم الرياضي محمد بن موسى الخوارزمي، ‏وأوّل من استعمله للأغراض الحسابية هو العالم أبو الحسن علي بن محمد القلصادي ‏الأندلسي الذي ولد عام 825 هجرية وتوفي سنة 891 هجرية وانتشر هذا الرمز في ‏مختلف لغات العالم .

* أول من وضع أسس علم الجبر هو العالم المسلم أبو الحسن محمد بن موسى الخوارزمي ، ‏ولد هذا العبقري الفذّ في بلدة خوارزم بإقليم تركستان في العام 164 هجرية، برع في علم ‏الحساب ووضع فيه كتاباً له أسماه (الجبر والمقابلة) شرح فيه قواعد وأسس هذا العلم ‏العام ،تحرف اسمه عند الأوروبيين فأطلقوا عليه (‏ALGEBRA‏) أي علم الحساب ، ‏وتوفي –رحمه الله –عام 235 هجرية .

* أول من أسس علم حساب المثلثات هم الفراعنة القدماء عرفوا حساب المثلثات وساعدهم ‏ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة،وظل علم حساب المثلثات نوعاً من أنواع الهندسة ،حتى ‏جاء العرب المسلمون وطوروه ووضعوا الأسس الحديثة له لجعله علماً مستقلاً بذاته ‏،وكان من أوائل المؤسسين لحساب المثلثات ،أبو عبد الله البتاني والزرقلي ونصير الدين ‏الطوسي .

 * أول من استعمل الرموز أو المجاهيل في علم الرياضيات هم العرب المسلمون ، فاستعملوا ‏‏(س) للمجهول الأول ، و (ص) للثاني و (ج) للمعادلات للجذر .. وهكذا .

* أول رسالة عن علم الرياضيات طبعت في أوروبا كانت مأخوذة من جداول العالم المسلم ‏أبي عبد الله البتاني ،وقد طبعت هذه الرسالة الأولى عام 1493م في اليونان .

 * أول من أدخل الأرقام الهندية إلى العربية هو أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي عالم ‏الرياضيات والأرقام التي نستعملها اليوم في كتابة الأعداد العربية 1،2،3،4،5،… الخ هي ‏أرقام دخيلة استعملها الهنود من قبل العرب بقرون طويلة .

 * أول معداد يدوي اخترعه الصينيون واستعانوا به على إجراء العمليات الحسابية وذلك في ‏العام 1000 قبل الميلاد وسموه ( الأبوكس ) .

* أول حاسوب إلكتروني يعمل بالكهرباء تم اختراعه في عام 1946م بالولايات المتحدة ‏الأمريكية ، وأطلق عليه اسم (إنياك:‏Eniac‏ ) ، وهو من حواسيب الجيل الأوّل التي تعمل ‏بالصمامات المفرغة وتستهلك قدراً كبيراً من الكهرباء ، وهي تشمل مساحة كبيرة .

 * أول من اكتشف الدائرة منذ عام 500 ق.م هم المصريون القدماء .

 * أول من توصل لقانون حساب مساحة الدائرة = ط نق2 هو العالم المصري أحمس .

* أول من ابتدع النظام العشري في العد هم المصريون القدماء .

* أول من أعطي قيمة صحيحة للنسبة التقريبية هو غياث الدين الكاشي . ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏

Posted in حول علم الرياضيات | أضف تعليقا

برامج تساعدك لحلول المسائل الرياضية

1-

برنامج للماث يساعدك في حلول المسائل الرياضية

http://majdah.maktoob.com/vb/majdah103841/

2-

برنامج لحل المعادلات الرياضية يمكنك حمله على الذاكرة المتنقلة وتشغيله من أي جهاز,, التحميل: http://alfaris.net/uploads/Natural_Calculator_1.5.zip

برنامج رائع لحل المسائل الحسابية يساعد الطلاب والمعلمين ايضا التحميل

http://b7r.biz/4054327463

برنامج

Equation Wizard

البرنامج الرائــع لحل المعادلات الرياضيـة مايميـز هذا البرنامج الصغيـر هو عنـد إضافة اي معادلة حسابية لحلها فإن البرنامج ايضـآ يقوم بشـرح الطريقة التي استخدمت في الحل. أنصح طلاب المدراس و الجامعات بتحميل البرنامج و تجربته حيث ان البرنامج يستحق التجربة

http://www.equationwizard.com/eqwizdemo.exe

Posted in موسوعة المواقع لتعلم الرياضيات | أضف تعليقا

مواقع لتعلم الرياضيات

مواقع مفيده جداً بإمكانها مساعدتك في تعلم الرياضيات

قبل أن أبدأ إليكم هذا الرابط وهو عبارة عن شبكه الرياضيات(رائعة جداً)

http://www.mathramz.com/math/sites/arabic

المـوقع الأول :

http://www.hissabe.com/

الموقع الثاني :
http://www.googolpower.com/content/

الموقع الثالث :

http://math.pppst.com/multiplication.html

الموقع الرابع : ( يحتوي على مواقع كثيرة ورائع جداً )

الموقع الخامس :

http://mrjusino.com/math.htm

الموقع السادس :

http://www.abc.net.au/countusin/games.htm

الموقع السابع:

http://www.saintambrosebarlow.wigan….Activities.htm

الموقع الثامن

موقع يجمع مواقع لتعلم الرياضيات

http://mathlycee.ahlamontada.com/montada-f30/

موقع  التاسع

موقع روعة لتعلم الرياضيات

http://www.schoolarabia.net/map_site/math/math-1.htm

Posted in موسوعة المواقع لتعلم الرياضيات | أضف تعليقا